STADIA / NUMÉROS ET L’UNIVERS
Règle simple.
Des formes surprenantes.
Découvrez le concept de Fibonacci, les motifs récurrents et les fractales. Apprenez à comprendre les mathématiques en regardant, en expérimentant et en expliquant les choses étape par étape.
Commencez par la méthode ↓Essayez le premier test →MATHÉMATIQUE POUR LIRE LE MONDE
Commencez par une question.
Donnez aux symboles une signification.
Une formule exprime une relation. La compréhension de cette relation signifie connaître ce que représentent ses symboles, comment ses éléments interagissent et quand cette relation s’applique.
Ce premier chapitre commence par des schémas que vous pouvez créer vous-même. Les expériences vous aident à formuler une conjecture ; les explications et les preuves vous aident à décider si cette conjecture est vraie.
LA MÉTHODE / CINQ PETITS PAS
Comment comprendre les mathématiques
Observe
Décrivez les changements et ce qui reste le même. Commencez par des mots et un dessin.
Essayez un petit coffret
Utilisez quelques chiffres ou des formes. Notez chaque étape afin de pouvoir la vérifier.
Trouver une règle
Demandez quelle opération relie les exemples. Un motif suggère une règle ; il ne prouve pas cette règle.
Utilisez des symboles
Donnez un nom à chaque quantité. Lisez la formule à haute voix et connectez-la à votre exemple.
Expliquer et tester
Expliquez pourquoi cette règle fonctionne. Essayez de trouver un contre-exemple et de préciser ses conditions.
FIBONACCI / CONSTRUCTION D’UNE SEQUENCE
Deux nombres donnent le suivant.
Commencez par 0 et 1. Ajoutez les deux derniers nombres pour obtenir le prochain nombre : 0, 1, 1, 2, 3, 5, 8…
Lisez la règle
Fₙ = Fₙ₋₁ + Fₙ₋₂ (n ≥ 2)
Le petit indice situé en dessous de F indique la position dans la séquence. Fₙ signifie “ le nombre de Fibonacci à la position n ”, et non F multiplié par n.
Pourquoi les proportions s’approchent-elles de la proportion aurelle ?
Pour les termes successifs positifs, divisez la récurrence par le terme précédent. Si leurs ratios approchent d’une limite positive r, alors r = 1 + 1/r. Cela donne r² = r + 1, dont la solution positive est (1 + √5)/2. Une preuve complète doit également établir que les ratios convergent.
Ces proportions s’approchent de la proportion aurelle ; une proportion finie de nombres Fibonacci n’est pas exactement égale à celle-ci. Il n’existe pas de spirale dans la nature qui suit la proportion de Fibonacci.
Avant de déplacer le curseur : quel sera le prochain terme ? Expliquez comment vous l’avez trouvé.
REPETITION / La même règle, une nouvelle position
Créez un motif à partir d’une seule tuile.
Un motif périodique se répète après un changement fixe. Faites glisser la même tuile horizontalement et verticalement pour créer un grille.
Déconnectez la plaque de la règle.
La tuile est l’objet qui est répété. Dans la géométrie, une translation déplace chaque point d’un même déplacement. La tuile conserve son orientation et sa taille.
Dans ce cas, a et b représentent les déplacements horizontal et vertical. La rotation des carreaux alternés ajoute une deuxième règle et peut changer les symétries du motif.
Essayez-le avec du papier
Créez un carreau asymétrique, comme un diagonale avec un point à l’extrémité. Copiez-le en quatre carrés. Rotominez les copies alternées de 180°. Quels mouvements permettent de faire correspondre l’ensemble du motif ?
Un grille répétitive et un fractal utilisent des types de répétition différents : une grille se répète à travers les positions ; un fractal parfaitement auto-similaire se répète à travers les échelles.
Nombre total de carreaux : 36
Le doublement du nombre de carreaux par côté double-t-il le total, ou le multiplie-t-il par quatre ? Expliquez en utilisant les colonnes et les lignes.
Incompréhensions / Repetitions sur un élément plus petit
Un triangle devient trois.
Commencez par un triangle équilatéral rempli. Raccordez les points intermédiaires des côtés, retirez le triangle central et répétez l’opération pour les trois triangles restants.
La construction de Sierpiński
Chaque étape laisse trois copies avec la moitié de la longueur précédente. Après n étapes, il y a 3ⁿ triangles petits, et la surface restante est (3/4)ⁿ de la surface initiale.
Aₙ / A₀ = (3/4)ⁿ
L’écran montre une étape terminée. Le fractal mathématique est la limite de cette construction à mesure que le nombre de pas augmente sans limite.
Pourquoi 75% de la surface reste après chaque étape ?
Les points intermédiaires divisent un triangle en quatre triangles congruents. En supprimant un point, on obtient trois zones égales. La répétition multiplie à nouveau la zone restante par 3/4 à chaque étape.
Les branches naturelles et les surfaces irrégulières peuvent ressembler à des fractales à des échelles limitées. Elles ne contiennent pas de copies infiniment petites de leur propre image.
Prevoir le nombre de triangles au prochain niveau. Pourquoi leur nombre peut-il augmenter alors que leur surface totale diminue ?
EXERCIEZ-VOUS / EXPLIQUEZ-VOUS LA THÉORIE EN VOUS-MOIS
La compréhension se développe grâce à l’exercice.
Modification de la représentation
Écrivez une règle sous forme de phrase, de tableau, de dessin et de formule. Quel type de représentation facilite-t-il la compréhension de la règle ?
Trouvez un contre-exemple
“ Toutes les suites successives doublent à chaque étape. ” Fibonacci donne déjà un contreexemple : 2 est suivi de 3. Un contreexemple contredit une affirmation universelle.
Distinguer la vision de la preuve
Un millier d’exemples concordants peut étayer une conjecture. Une preuve explique pourquoi une assertion est vraie dans tous les cas couverts par ses hypothèses.
Un court exercice avec une explication
Au deuxième niveau, la construction de Sierpiński comporte 9 triangles. Au troisième niveau, elle en comporte 27. La surface restante passe de 9/16 à 27/64 de la surface initiale. Chaque triangle survivant est remplacé par trois triangles plus petits, tandis qu’une quatrième partie de sa surface est supprimée.
