STADIA / NUMERI E L’UNIVERSO
Regole semplici.
Forme sorprendenti.
Esplora Fibonacci, i modelli ripetitivi e i frattali. Impara a comprendere la matematica osservando, sperimentando e spiegando un passo alla volta.
Iniziamo con il metodo ↓Provate il primo esperimento →MATEMATICA PER LA LETTURA DEL MONDO
Inizia con una domanda.
Dagli un significato ai simboli.
Una formula esprime una relazione. Capirla significa conoscere cosa significano i suoi simboli, come funzionano le sue componenti e quando si applica la relazione.
Questo primo capitolo inizia con dei modelli che puoi costruire da solo. Gli esperimenti aiutano a formulare una ipotesi; le spiegazioni e le prove aiutano a decidere se è vera.
IL METODO / CINQUE PICCOLI PASSI
Come capire la matematica
Osservate
Descrivi quali cambiamenti ci saranno e quali rimarranno gli stessi. Comincia con delle parole e un disegno.
Prova un piccolo case
Utilizza alcuni numeri o forme. Scrivi ogni passo per poterlo verificare.
Trova una regola
Domanda: quale operazione collega gli esempi? Un modello suggerisce una regola; non ne dimostra l’esistenza.
Utilizzare simboli
Date a ciascuna quantità un nome. Leggete la formula ad alta voce e collegatela al vostro esempio.
Mostrare e verificare
Spiegare perché la regola funziona. Cercare di trovare un controesempio e specificare le sue condizioni.
FIBONACCI / LA CREAZIONE DI UNA SEQUENZA
Due numeri determinano il prossimo.
Partiamo da 0 e 1. Aggiungiamo i due ultimi numeri per ottenere il prossimo: 0, 1, 1, 2, 3, 5, 8…
Leggi la regola
Fₙ = Fₙ₋₁ + Fₙ₋₂ (n ≥ 2)
Il piccolo indice sotto F indica la posizione nella sequenza. Fₙ significa “il numero di Fibonacci alla posizione n”, non F moltiplicato per n.
Perché i rapporti si avvicinano alla proporzione aurea?
Per i termini consecutivi positivi, dividere la ricorrenza per il termine precedente. Se i loro rapporti si avvicinano a un limite positivo r, allora r = 1 + 1/r. Ciò dà r² = r + 1, la soluzione positiva della quale è (1 + √5)/2. Una dimostrazione completa deve inoltre stabilire che i rapporti convergono.
Questi rapporti si avvicinano al rapporto aureo; un rapporto tra due numeri interi di Fibonacci non è esattamente uguale a esso. Non tutte le spirali presenti in natura seguono la successione di Fibonacci.
Prima di spostare il cursore: qual sarà il prossimo termine? Spiegare come l’avete trovato.
Ripetizione / Stesso principio, nuova posizione
Costruisci un modello a partire da un singolo pezzo.
Un motivo periodico si ripete dopo uno spostamento fisso. Sposta la stessa piastrella in orizzontale e in verticale per creare una griglia.
Separa la piastrella dalla regola.
La piastrella è l’oggetto che viene ripetuto. Nella geometria, una traslazione sposta ogni punto con lo stesso spostamento. La piastrella mantiene la sua orientazione e le sue dimensioni.
Qui a e b sono gli spostamenti orizzontale e verticale. Ruotare le piastrelle alternate aggiunge una seconda regola e può cambiare le simmetrie del motivo.
Provatelo con la carta
Realizza una piastrella asimmetrica, come ad esempio una diagonale con un punto all’estremità. Copiala in quattro quadrati. Ruota le copie alternative di 180°. Quali movimenti fanno sì che l’intero disegno si adatti a se stesso?
Una griglia ripetitiva e un frattale utilizzano diversi tipi di ripetizione: una griglia si ripete in tutte le posizioni; un frattale esattamente auto-simile si ripete su tutte le scale.
Numero totale di piastrelle: 36
Raddoppiare il numero di tasselli per lato raddoppia il totale oppure lo moltiplica per quattro? Spiegare usando righe e colonne.
FRATTALI / RIPETIZIONE A SCALA DIMINUITA
Un triangolo diventa tre.
Partiamo da un triangolo equilatero pieno. Collegiamo i punti intermedi delle sue angolazioni, rimuoviamo il triangolo centrale e ripetiamo il procedimento con i tre triangoli rimanenti.
La costruzione di Sierpiński
Ogni passaggio lascia tre copie con la metà della lunghezza precedente. Dopo n passaggi, ci sono 3ⁿ triangoli piccoli e l’area rimanente è (3/4)ⁿ dell’area iniziale.
Aₙ / A₀ = (3/4)ⁿ
Lo schermo mostra una fase finita. Il frattale matematico è il limite di questa costruzione man mano che il numero di passi cresce senza limiti.
Perché rimane il 75% della zona dopo ogni passaggio?
I punti intermedi dividono un triangolo in quattro triangoli congruenti. La rimozione di uno dei punti lascia tre delle quattro aree uguali. La ripetizione moltiplica nuovamente l’area rimanente per 3/4 in ogni passaggio.
Le strutture ramificate naturali e le superfici irregolari possono assomigliare ai frattali su scale limitate. Non contengono copie infinitamente piccole di sé stesse.
Prevedere il numero di triangoli nel passaggio successivo. Perché il loro numero può aumentare mentre la loro area totale diminuisce?
Pratica e spiega la tua idea da solo
La comprensione cresce attraverso la pratica.
Cambia la rappresentazione
Scrivete una regola come frase, una tabella, un disegno e una formula. Quale rappresentazione facilita la comprensione di ciascuna parte?
Cercate un controesempio
“Le sequenze sempre più lunghe si raddoppiano ad ogni passaggio. Fibonacci fornisce già un controesempio: il 2 è seguito dal 3. Un controesempio smentisce un’affermazione universale.
Distinguere ciò che si vede da ciò che si dimostra
Un migliaio di esempi compatibili può supportare una congettura. Una dimostrazione spiega perché una affermazione è valida per tutti i casi coperti dalle sue ipotesi.
Un breve esercizio con una spiegazione
Nel secondo passaggio la costruzione di Sierpiński ha 9 triangoli. Nel terzo passaggio ne ha 27. L’area rimanente cambia da 9/16 a 27/64 dell’area originale. Ogni triangolo sopravvissuto viene sostituito da tre triangoli più piccoli, mentre una quarta parte della sua area viene eliminata.
