STADIA / NUMEROS Y EL UNIVERSO
Reglas simples.
Formas sorprendentes.
Explora el concepto de Fibonacci, los patrones repetitivos y los fractales. Aprende a entender las matemáticas observando, experimentando y explicando cada paso a su debido tiempo.
Comienza con el método ↓Prueba el primer experimento →MATEMÁTICAS PARA LA LECTURA DEL MUNDO
Comienza con una pregunta.
Dales a los símbolos un significado.
Una fórmula expresa una relación. Entenderla significa conocer qué significan sus símbolos, cómo funcionan sus partes juntas y cuándo se aplica la relación.
Este primer capítulo comienza con patrones que puedes construir tú mismo. Los experimentos te ayudan a formular una suposición; las explicaciones y las demostraciones te ayudan a decidir si es cierta.
El método / Cinco pequeños pasos
Cómo entender las matemáticas
Observa
Describe los cambios y lo que permanece igual. Comienza con palabras y un dibujo.
Inténtalo en un pequeño estuche
Utiliza unos cuantos números o formas. Escribe cada paso para poder comprobarlo.
Encuentra una regla
Pregúntese qué operación conecta los ejemplos. Un patrón sugiere una regla; no lo prueba.
Utiliza símbolos
Escribe un número para cada cantidad. Lee la fórmula en voz alta y relaciona la fórmula con tu ejemplo.
Explicar y probar
Explícanos por qué funciona la regla. Traten de encontrar un ejemplo contrario y expliquen sus condiciones.
FIBONACCI / CONSTRUCCIÓN DE UNA SECUENCIA
Dos números dan el siguiente.
Se empieza con 0 y 1. Agrega los dos últimos números para obtener el siguiente: 0, 1, 1, 2, 3, 5, 8…
Lee la norma
Fₙ = Fₙ₋₁ + Fₙ₋₂ (n ≥ 2)
El pequeño índice que aparece debajo de F indica la posición en la secuencia. Fₙ significa “el número de Fibonacci en la posición n”, no F multiplicado por n.
¿Por qué los ratios se acercan a la proporción áurea?
Para términos consecutivos positivos, divida la recurrencia por el término anterior. Si sus ratios acercan un límite positivo r, entonces r = 1 + 1/r. Esto da r² = r + 1, cuya solución positiva es (1 + √5)/2. Una demostración completa también debe establecer que los ratios convergen.
Estas proporciones se acercan a la proporción áurea; una proporción finita de números Fibonacci enteros no es exactamente igual a ella. No todas las espirales en la naturaleza siguen la proporción de Fibonacci.
Antes de mover el cursor: ¿Cuál será el próximo término? Explique cómo lo descubrió.
REPETICIÓN / MISMAS REGLAS, NUEVA POSICIÓN
Construya un patrón a partir de una sola placa.
Un patrón periódico se repite después de un cambio fijo. Mueve la misma tile horizontalmente y verticalmente para crear una cuadrícula.
Desconecte la placa de la regla.
La tile es el objeto que se repite. En geometría, una translación desplaza cada punto con el mismo desplazamiento. La tile mantiene su orientación y tamaño.
Aquí a y b son los desplazamientos horizontal y vertical. Rotar las piezas alternas añade una segunda regla y puede cambiar qué simetrías tiene el patrón.
Inténtalo con papel
Dibuje una azuleja asimétrica, como una diagonal con un punto en un extremo. Copie la imagen en cuatro cuadrados. Gire las copias alternas en 180°. ¿Qué movimientos hacen que el patrón completo se ajuste a sí mismo?
Una cuadrícula repetitiva y un fractal utilizan diferentes tipos de repetición: una cuadrícula se repite a través de las posiciones; un fractal exactamente auto-similar se repite a través de escalas diferentes.
Total de azulejos: 36
¿Aumentar el número de fichas por lado duplica el total o lo multiplica por cuatro? Explique usando filas y columnas.
Fragilidades / Repetición en una escala más pequeña
Un triángulo se convierte en tres.
Comienza con un triángulo equilátero lleno. Une los puntos medios de sus lados, retira el triángulo central y repite con los tres triángulos restantes.
La construcción de Sierpiński
Cada paso deja tres copias con la mitad de la longitud lateral anterior. Después de n pasos, hay 3ⁿ triángulos pequeños, y el área restante es (3/4)ⁿ de la área inicial.
Aₙ / A₀ = (3/4)ⁿ
La pantalla muestra una etapa finita. El fractal matemático es el límite de esta construcción a medida que el número de pasos crece sin límites.
¿Por qué queda el 75% de la zona tras cada paso?
Los puntos medios dividen un triángulo en cuatro triángulos congruentes. Eliminar uno de ellos deja tres áreas iguales en el triángulo. Repetir el proceso multiplica nuevamente la área restante en 3/4 en cada paso.
Las ramificaciones naturales y las superficies irregulares pueden parecer fractales a escalas limitadas. No contienen copias infinitamente pequeñas de sí mismas.
Predecir el número de triángulos en la siguiente etapa. ¿Por qué su número puede aumentar mientras su área total disminuye?
Prueba/explica la idea tú mismo
La comprensión crece a través de la práctica.
Cambiar la representación
Escribe una regla como una oración, una tabla, un dibujo y una fórmula. ¿Qué facilita cada representación para verla?
Busque un ejemplo contrario
“Todas las secuencias que aumentan se duplican en cada paso”. Fibonacci da un ejemplo contrario: 2 es seguido de 3. Un ejemplo contrario desmiente una afirmación universal.
Distinguir lo que se ve de lo que se demuestra
Un número de ejemplos coincidentes puede corroborar una suposición. Una demostración explica por qué una afirmación es cierta en todos los casos en los que se basan sus supuestos.
Un breve ejercicio con una explicación
En la etapa 2, la construcción de Sierpiński tiene 9 triángulos. En la etapa 3 tiene 27. La superficie restante cambia de 9/16 a 27/64 del tamaño original. Cada triángulo superviviente es reemplazado por tres triángulos más pequeños, mientras que se retira una cuarta parte de su superficie.
